一、基础练习题（三角函数图像变换的基本应用）
练习1：垂直变换
题目：比较 \( y = 2\sin x \) 和 \( y = \sin x \) 的图像差异，描述变换类型和效果。
解答：
变换类型：垂直伸缩（A = 2）。
效果：原图像 \( y = \sin x \) 的纵坐标伸缩2倍，振幅从1变为2，图像"拉长"。
练习2：水平变换
题目：比较 \( y = \cos(2x) \) 和 \( y = \cos x \) 的图像差异，描述变换类型和效果。
解答：
变换类型：水平伸缩（b = 2）。
效果：周期从 \( 360^\circ \) 变为 \( 180^\circ \)，图像在水平方向"压缩"为原来的一半。
练习3：复合变换
题目：分析 \( y = -2\sin(x + 45^\circ) + 1 \) 的变换过程，描述每个变换步骤的效果。
解答：
1. 原函数：\( y = \sin x \)
2. 水平平移：\( y = \sin(x + 45^\circ) \)（向左平移45°）
3. 垂直伸缩：\( y = 2\sin(x + 45^\circ) \)（振幅变为2）
4. 垂直反射：\( y = -2\sin(x + 45^\circ) \)（上下翻转）
5. 垂直平移：\( y = -2\sin(x + 45^\circ) + 1 \)（向上平移1单位）
练习4：求图像关键点
题目：对于函数 \( y = \cos(x - 60^\circ) \)：
(1) 求在区间 \([-360^\circ, 360^\circ]\) 内与x轴的交点；
(2) 求与y轴的交点；
(3) 求最大值和最小值。
解答：
(1) 解 \( \cos(x - 60^\circ) = 0 \)，得 \( x - 60^\circ = 90^\circ + 180^\circ k \)，
\( x = 150^\circ + 180^\circ k \)，在区间内：-210°, 150°, 330°
(2) 令 x = 0，y = \cos(-60°) = 0.5
(3) 最大值2，最小值-2（振幅为2）
二、综合练习题（三角函数图像变换的综合应用）
练习5：求变换参数
题目：已知函数 \( y = \sin(x + k) \) 的图像与 \( y = \sin x \) 相比向左平移了 \( 30^\circ \)，求 \( k \) 的可能值。
解答：
原函数零点为 x = nπ，向左平移30°后零点变为 x = nπ - 30°。
对比原零点，应有 nπ - 30° = mπ，其中 m、n为整数。
解得：nπ - mπ = 30°，π(n - m) = 30°，n - m = 30°/180° = 1/6。
所以 n = m + 1/6，不可能为整数，说明不是简单的整数周期平移。
实际上，由于正弦函数的周期性，k 可以为 30° + 360°n，其中 n 为整数。
所以 k = 30° + 360°n（n为整数）。
练习6：周期计算
题目：求函数 \( y = \tan(3x) \) 的基本周期，并与原函数 \( y = \tan x \) 比较。
解答：
原函数 \( y = \tan x \) 的周期为 180°。
变换形式为 \( y = \tan(3x) \)，其中 b = 3。
新周期 = 原周期 / b = 180° / 3 = 60°。
与原函数相比，新函数周期变为原来的1/3。
练习7：潮汐模型
题目：某海湾潮汐高度（米）随时间变化的模型为 \( y = 3\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 4 \)，其中 t 为小时。
(1) 求潮汐的周期；
(2) 求潮汐高度的变化范围；
(3) 求从 t=0 开始第一次达到最高潮的时间。
解答：
(1) 模型为 \( y = 3\sin\left(\frac{\pi t}{6}\right) + 4 \)，其中 b = π/6。
周期 = 2π / b = 2π / (π/6) = 12小时。
(2) 振幅为3，基准线为4，变化范围为4-3=1米到4+3=7米。
(3) 最高潮时 sin 函数为1，即 sin(πt/6) = 1。
πt/6 = π/2 + 2πk，t/6 = 1/2 + 2k，t = 3 + 12k。
第一个正值 t = 3小时。
练习8：声波分析
题目：声波振动模型 \( y = 0.5\cos(440\pi t) \) 表示440Hz的音调。
(1) 求振动周期；
(2) 求振幅；
(3) 求第一个振动周期内振幅最大值出现的时间。
解答：
(1) 模型为 \( y = 0.5\cos(440\pi t) \)，其中 b = 440π。
周期 = 2π / b = 2π / (440π) = 1/220秒。
频率 f = 1/周期 = 220Hz，但题目说是440Hz，可能有误。
(2) 振幅为0.5（A = 0.5）。
(3) 振幅最大时 cos 函数为 ±1，即 cos(440πt) = ±1。
440πt = 2πk，t = (2k)/440 = k/220秒。
第一个周期内第一个最大值 t = 0秒。
三、挑战练习题（三角函数图像变换的高级应用）
练习9：复杂变换识别
题目：已知函数 \( y = 2\cos\left(\frac{x}{2} - 45^\circ\right) - 1 \)，描述其相对于 \( y = \cos x \) 的所有变换。
解答：
1. 原函数：\( y = \cos x \)
2. 水平伸缩：\( y = \cos\left(\frac{x}{2}\right) \)（周期变为原来的2倍）
3. 水平平移：\( y = \cos\left(\frac{x}{2} - 45^\circ\right) \)（向右平移45°）
4. 垂直伸缩：\( y = 2\cos\left(\frac{x}{2} - 45^\circ\right) \)（振幅变为2）
5. 垂直平移：\( y = 2\cos\left(\frac{x}{2} - 45^\circ\right) - 1 \)（向下平移1单位）
练习10：实际建模问题
题目：某地区日照时间随季节变化的模型为 \( y = 12 + 4\sin\left(\frac{2\pi t}{365} - \frac{\pi}{2}\right) \)，其中 t 为一年中的天数。
(1) 求日照时间的年变化周期；
(2) 求日照时间的变化范围；
(3) 求夏季白昼最长的一天日照时间。
练习11：多重变换合成
题目：将以下变换顺序应用于 \( y = \sin x \)：
1. 垂直伸缩2倍；2. 向左平移90°；3. 向下平移1单位。
写出最终的函数表达式。
练习12：图像特征分析
题目：比较 \( y = 3\sin(2x + 60^\circ) \) 和 \( y = -3\sin(2x + 60^\circ) \) 的图像特征差异。
解答要点：
两个函数互为相反数，除了振幅符号相反，其他特征完全相同。
一个向上振动，一个向下振动，但周期、相位等完全一样。